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quarta-feira, 23 de fevereiro de 2011

Implantação da ufpa em salinas


 :UFPA avança na implantação de pólo em Salinas


Representantes da Universidade Federal do Pará, da Prefeitura Municipal e do povo de Salinas, na região nordeste do Estado, viveram nesta terça-feira, 22 de fevereiro, um dia histórico. A data marcou o ato público de doação de 43 hectares de terra do município para a construção do Pólo Universitário de Ciência e Tecnologia da UFPA. O projeto de implantação do Instituto Científico e Tecnológico do Mar e do Petróleo está prestes a se tornar realidade e ofertará graduação e pós-graduação nas áreas de Engenharia de Exploração e Produção de Petróleo e Gás Natural, e, de Engenharia Oceânica, além de um curso técnico profissionalizante de Pesca, na região.

O projeto de implantação do Pólo é do geofísico salinopolitano professor Carlos Alberto Dias. A ideia já começou a sair do papel, com o apoio do reitor da UFPA, Carlos Edilson Maneschy, do secretário estadual de Educação, professor e ex-reitor da UFPA, Nilson Pinto, e do prefeito de Salinas, Vagner Curi. Os 43 hectares de terra que sediarão o Pólo ficam na entrada do município. Além disso, outro terreno, uma parte onde hoje está situado o ponto turístico da Fonte do Caranã, no centro da cidade, servirá para sediar a Fundação Cultural, que integra o projeto do Pólo, a qual contará com uma biblioteca exclusiva com livros de Literatura e de História da Formação do Brasil, um auditório, salas de leitura e de informática.

A apresentação do projeto à comunidade ocorreu no Ginásio Poliesportivo de Salinas, com representantes da Administração Superior da UFPA, governo do Estado e autoridades municipais. “Uma área com o potencial de Salinas não pode ficar sem investimentos. Eu, como filho da terra, senti necessidade de fazer algo em benefício do meu município. Esse momento, para mim, é um reencontro com a minha gente”, afirmou Carlos Alberto Dias, idealizador do projeto e principal homenageado da cerimônia.

Biodiversidade litorânea - A ideia é que o curso de Engenharia de Produção de Petróleo possa formar profissionais para atuarem em todo o Brasil, pois, conforme apontou Dias, trata-se de uma área em que o país é carente no que consiste à competência científica. O curso de Engenharia Oceânica visa criar condições para que os recursos e a biodiversidade litorânea sejam aproveitados economicamente com sustentabilidade. Será o segundo nessa área a ser implantado no país, estando o primeiro em funcionamento no Rio de Janeiro. Da mesma forma, o curso técnico de Pesca tem como objetivo potencializar e profissionalizar essa atividade já tão praticada no município de Salinas devido à alta e variada piscosidade da região.

Ciência, emprego e renda - Os recursos financeiros necessários para a construção dos prédios estão em fase de negociação. A estimativa é a de que sejam necessários R$ 15 milhões para as obras do Pólo e R$ 2 milhões para a construção da Fundação Cultural. “A filosofia que orienta esse projeto é a de conferir melhoria na qualidade de vida das pessoas, por isso não tenho dúvidas de que conseguiremos muitos parceiros”, afirmou Carlos Alberto Dias. A estimativa também é a de gerar emprego e renda na região, uma vez que o reitor da UFPA está em negociação com o Ministério da Educação para viabilizar a liberação de 60 vagas para docentes e 60 vagas para técnico-administrativos para serem preenchidas mediante concurso público.

“A emoção é o que move este momento tão importante para todos nós e que, agora, fica marcado na história do povo de Salinas como mais uma possibilidade para a realização de sonhos de tantos jovens que colocam nesse projeto suas maiores esperanças”, disse o reitor Carlos Maneschy. Em concordância, o prefeito Vagner Curi destacou que o Pólo da UFPA em Salinas dará importância nacional ao município, podendo se tornar referência em assuntos relacionados à produção e exploração de petróleo e gás natural em todo o país. “Temos recursos em quantidade e qualidade na nossa região, precisamos saber aproveitá-los”, disse.

Honraria - O prefeito municipal também agradeceu a iniciativa do professor Carlos Alberto Dias e, em homenagem ao geofísico, anunciou que a Polícia Militar de Salinas criou uma medalha com o nome do professor, a qual será entregue como honraria a cidadãos de bem que tenham contribuído para o desenvolvimento da cidade. Os primeiros a receberem a homenagem, segundo Vagner Curi, serão o reitor Carlos Maneschy, o secretário Nilson Pinto e o secretário municipal de Ciência e Tecnologia, Antônio Fonteles, pelo apoio prestado na realização do projeto de implantação do Pólo no município. A premiação deve ocorrer no dia 22 de outubro, data do aniversário de fundação da cidade.

As gêmeas Helen e Helene Cerejeito, de 18 anos, concluíram recentemente o ensino médio e vêem a instalação da UFPA em Salinas como uma grande oportunidade. “É a chance que temos de cursar o ensino superior sem sair da nossa cidade. Acredito que o Pólo deverá trazer desenvolvimento para o nosso município que é muito carente, principalmente em termos de ensino e educação”, disse Helen. O jovem Diego Lima, de 19 anos, contou que foi participar da cerimônia justamente com a intenção de conhecer os cursos que serão ofertados no Pólo Universitário. “Esse projeto, com certeza, vai trazer investimentos e abrir portas para o nosso povo”, sintetizou. A previsão é a de que o Pólo esteja implantado e em funcionamento em um prazo mínimo de até dois anos.

segunda-feira, 21 de fevereiro de 2011

Descoberto novo estado quântico da água


Descoberto novo estado quântico da água

Com informações da PhysicsWorld - 08/02/2011
Água e vida
Água e vida sempre combinaram, desde as mais antigas mitologias até as mais recentes descobertas científicas.
E essas qualidades capazes de sustentar a vida parecem estar fundamentadas em um conjunto de propriedades que tornam a água uma substância única.
São nada menos do que 66 "anomalias" conhecidas, propriedades únicas da água, não vistas em nenhum outro líquido.
Por exemplo, o fato de que a água em estado sólido é menos densa do que em estado líquido e que sua densidade máxima ocorre aos 4 °C significa que os lagos congelam de cima para baixo, algo que foi vital para sustentação da vida durante as eras do gelo na Terra.
Ligação de hidrogênio
Agora, George Reiter e seus colegas da Universidade de Houston, nos Estados Unidos, afirmam que essas qualidades estranhas, mas cruciais para a vida, podem ser explicadas em certa medida pela mecânica quântica.
O grupo concentrou sua atenção em uma das esquisitices da água - a sua ligação de hidrogênio. A ligação de hidrogênio é a ligação entre as moléculas de água, que conectam um átomo de oxigênio de uma molécula ao átomo de hidrogênio de outra molécula.
A teoria mais aceita é a de que a ligação de hidrogênio da água seja um fenômeno eletrostático, ou seja, a água consistiria de moléculas individuais que se ligam por meio de cargas positivas (no hidrogênio) e negativas (no oxigênio).
Este modelo explica algumas características da água, como a sua estrutura.
Novo estado quântico da água
O que Reiter e seus colegas descobriram é que o modelo eletrostático não consegue prever as energias dos prótons individuais dentro das moléculas de água.
Eles fizeram medições extremamente sensíveis dos prótons em amostras muito pequenas de água - acondicionadas dentro de nanotubos de carbono de 1,6 nanômetro de diâmetro - e descobriram que esses prótons se comportam de forma muito diferente do que o fazem em amostras muito maiores.
A distribuição do momento dos prótons é fortemente dependente da temperatura, apresentando uma energia cinética 50% maior do que o previsto pelo modelo eletrostático em temperaturas baixas, e 20% maior a temperatura ambiente.
O modelo eletrostático dá previsões razoavelmente precisas apenas para a água em grande volume a temperatura ambiente.
Segundo os cientistas, isto é um indicativo de que os prótons existem em um estado quântico nunca antes observado - um estado que não é descrito pelo modelo eletrostático, com as ligações de hidrogênio formando o que é conhecido como "rede eletrônica conectada".
Células vivas e células a combustível
Segundo Reiter, esse novo estado quântico pode ser importante para a vida porque o comprimento dos nanotubos usados para confinar a água nos experimentos - cerca de 2 nanômetros - é mais ou menos semelhante às distâncias entre as estruturas no interior das células biológicas.
"Eu acho que a mecânica quântica dos prótons na água sempre exerceu um papel no desenvolvimento da vida celular, mas nós nunca havíamos notado isso antes," disse ele.
A descoberta também pode ter impactos tecnológicos, principalmente nas células a combustível. Nessas células, os fluidos têm de trafegar através de membranas ultrafinas, com poros nas dimensões estudadas neste experimento.
Um dos principais modelos de células a combustível em desenvolvimento é conhecida como PEM (Proton Exchange Membrane). Ou seja, a diferença de energia apresentada pelos prótons quando altamente confinados pode fazer a diferença no desempenho dessas células.
Bibliografia:

Evidence of a new quantum state of nano-confined water
G. F. Reiter, A.I. Kolesnikov, S. J. Paddison, P. M. Platzman, A.P. Moravsky, M. A. Adams, J. Mayers
arXiv
26 Jan 2011
http://arxiv.org/abs/1101.4994
Acessado em 21/02/2011 ás 10:53 

quarta-feira, 16 de fevereiro de 2011

segunda-feira, 14 de fevereiro de 2011

Cura contra o HIV ?

                              Um transplante de medula óssea que usou células-tronco de um doador com resistência natural ao vírus da AIDS fez desaparecer oHIV por quase dois anos, até o momento, em um paciente.
O paciente é um estadunidense que mora na Alemanha, que tinha leucemia e havia contraído o vírus HIV — o vírus da imunodeficiência humana, causador AIDS. Ele recebeu um transplante de medula óssea de um doador saudável, que é a melhor chance de cura para a doença, para substituir todas as suas células que ‘fabricavam sangue com câncer‘.
Mas os médicos alemães Gero Hutter e Thomas Schneider procuraram um doador especial, que tinha uma mutação genética conhecida por ajudar o corpo a resistir à AIDS. A mutação afeta receptores celulares chamados CCR5 que o vírus da AIDS utiliza para invadir, infectar, se reproduzir e destruir as células do sistema imunológico.
Após o transplante de medula não apenas a leucemia desapareceu, mas o HIV também.
CURA DA AIDS?
Segundo a clínica onde o transplante foi efetuado já transcorreram 20 meses desde o transplante. O HIVnão é mais detectado em seu sangue e em outros possíveis reservatórios do corpo. Mas há possibilidade de que ainda esteja lá.
Os pesquisadores também disseram que este nunca será um tratamento padrão para a AIDS, já que é um procedimento perigoso e extremamente rigoroso para os pacientes.
A equipe disse que não foi possível encontrar quaisquer traços de HIV no sangue do paciente de 42 anos de idade, que permanece anônimo. “O vírus é enganador. Ele sempre pode retornar”, disse o Dr. Gero.
A mutação no CCR5 ocorre em cerca de 3% dos europeus e é possível que a terapia genética possa um dia promover a cura da AIDS em pacientes com HIV, afirmaram os cientistas.

quinta-feira, 10 de fevereiro de 2011

Metodos-quantitativos_Cap.2-Prof.Fabio-Nogueira.

Segundo capitulo do livro "Metodos quantitativos", do professor Fabio Nogueira que trata sobre problemas de PROGRAMACAO LINEAR, como desenvolver, resolver e analisar problemas desse tipo.

Capítulo 2
Modelando, resolvendo e analisando os problemas de programação linear
Índice do capítulo
Modelagem o calcanhar de Aquiles do problema Modelando um problema simples de programação linear
Resolvendo o problema proposto Resolvendo o problema proposto usando o Excel Melhorando a apresentação da planilha
Um pouco de história. Tarefas Propostas Modelos adicionais de programação linear Decisão de fabricação própria e compra da concorrência
Definindo as variáveis de decisão Definindo a função objetivo Definindo as restrições Modelo do problema Resolvendo o problema no Excel
Problema de transporte de mercadorias (logística)
Definindo as variáveis de decisão Definindo a função objetivo Definindo as restrições Modelo do problema Resolvendo o problema no Excel
Problema de mistura
Definindo as variáveis de decisão Definindo a função objetivo Definindo as restrições Modelo do problema Resolvendo o problema no Excel
Tarefas Propostas Análise de sensibilidade Parâmetros envolvidos na análise de sensibilidade Revisitando nosso primeiro modelo Relatórios do Solver Entendendo o relatório de resposta do Solver Entendendo o relatório de sensibilidade do Solver Entendendo o relatório de limites do Solver Papel milimetrado para resolução dos problemas do capítulo Softwares disponíveis no mercado
MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 2
Modelagem o calcanhar de Aquiles do problema
Modelar significa descrever matematicamente um determinado sistema de forma que o seu comportamento possa ser previsto. Como é muito freqüente encontrarmos sistemas bastante complexos na vida real, começaremos a estudá-los utilizando modelos simplificados. A partir dessa abordagem simplificada do sistema, vamos melhorando (refinando) o modelo para que represente realisticamente ou, pelo menos, quase realisticamente o problema em questão. O processo de refinamento passa necessariamente pelo testes de validação prática do modelo.
Modelando um problema simples de programação linear
Suponha que você seja um consultor de uma fábrica de computadores que produz 2 modelos de computador. O modelo on-board e o modelo off-board. O modelo on-board produz lucro de R$180,00 por unidade vendida enquanto que o modelo off-board tem lucro de R$300,00 por unidade vendida. Na montagem, cada modelo on-board requer 1 gabinete pequeno e 1 unidade de disco e cada modelo off-board requer 1 gabinete grande e 2 unidades de disco. Os funcionários do estoque informam a você que a fábrica dispõe de 60 unidades do gabinete pequeno e 50 unidades do gabinete grande, além de 120 unidades de disco. Como consultor, você foi designado para dar um parecer sobre qual seria o melhor esquema de produção para que o lucro seja máximo. O primeiro passo consistem em escrever a expressão do lucro: Lucro = 180 ONB + 300 OFFB Onde: ONB quantidades produzidas de computadores on-board. OFFB quantidade produzidas de computadores off-board.
A expressão do lucro é chamada função objetivo do problema. No segundo momento, precisamos descrever todas as restrições do problema. Conforme a disponibilidade de estoque, temos que a fábrica dispõe de 60 unidades do gabinete pequeno. Podemos então produzir, no máximo, 60 unidades do computador on-board. Matematicamente, essa afirmação produz a seguinte restrição: ONB 60 Para o computador off-board, a restrição se torna: OFFB 50 As 120 unidades de disco disponíveis em estoque devem ser divididas entre os dois tipos de computador que a fábrica produz. Cada computador on-board necessita de 1 unidade de disco enquanto que cada computador off-board necessita de 2 unidades de disco. A restrição matemática imposta pelo estoque é dada por: 1 ONB + 2 OFFB 120 O modelo do problema pode ser resumido pelo seguinte quadro:
Maximizar Lucro = 180 ONB + 300 OFFB Sujeito a: 1 ONB + 2 OFFB 120 ONB 60 OFFB 50
Podem ser adicionadas ao modelo as seguintes condições de não-negatividade: ONB 0 OFFB 0 Observe que não podem ser produzidas quantidades negativas de nenhum dos dois modelos.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 3
Resolvendo o problema proposto
Quando o modelo depender de apenas duas variáveis, podemos utilizar um método extremamente simples: o método gráfico. O método gráfico requer inicialmente o conhecimento da região de solução das inequações presentes no modelo, conforme os procedimentos mostrados no capítulo 1. A região de solução das inequações é chamada de região factível ou região viável. É importante dizer que a solução que maximiza o lucro deve pertencer à região factível. A região factível do problema é dada pelo seguinte gráfico:
OFFB
Restrição: OFFB 50 Restrição: ONB 60 Restrição: 1 ONB + 2 OFFB 120
Região Factível
ONB
Precisamos encontrar o ponto (ONB,OFFB) dentro da região factível que maximiza o lucro segundo a expressão: Lucro = 180 ONB + 300 OFFB Para cada valor atribuído ao lucro na expressão anterior, teremos uma equação contendo duas variáveis, isto é, teremos a equação de uma reta. Matematicamente, dizemos que a expressão do lucro representa uma família (ou conjunto) de retas quando atribuímos valores distintos ao lucro. Manipulando a expressão do lucro, teremos uma família de retas dadas por: 180 Lucro OFFB = ONB + 300 300 Note a semelhança com a equação da reta: y = m x + h Na equação anterior, m é o coeficiente angular cuja função é controlar a inclinação da reta e h é o coeficiente linear cuja finalidade é informar em que ponto a reta corta o eixo y. Para o problema em questão, o coeficiente angular é constante e negativo, indicando que 180 todas as retas da família devem ser decrescentes com inclinação . 300 O coeficiente linear depende do valor atribuído ao lucro. À medida que aumentamos seu valor, as retas da família cortam a parte positiva do eixo y em pontos cada vez mais distantes da origem.
As retas obtidas quando atribuímos valores diferentes para o lucro são chamadas de retas de isolucro (lucro constante).
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 4 Traçando as retas de isolucro, teremos:
OFFB
Reta para Lucro = 25.000,00: 180 ONB + 300 OFFB = 25.000
ONB
Reta para Lucro = 10.000,00: 180 ONB + 300 OFFB = 10.000 A primeira reta de isolucro traçada corresponde a um lucro de R$10.000,00 e possui pontos que estão dentro da região factível. Se continuarmos a traçar outras retas de isolucro vamos chegar à última reta que ainda possui pontos dentro da região factível. Essa reta corresponde ao valor de lucro máximo conforme mostra a figura a seguir:
OFFB
Lucro Máximo
Lucro aumentando.
ONB
Observe que a reta que corresponde ao lucro de R$25.000,00 não possui pontos que pertencem à região factível, logo, esse lucro não pode ser alcançado pela fábrica.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 5 Conforme os gráficos anteriores, podemos afirmar que o lucro máximo se encontra num dos extremos da região factível. O ponto cujo lucro é máximo corresponde ao ponto de cruzamento das retas presentes no seguinte sistema linear: 1 ONB + 2 OFFB = 120 ONB = 60 Essas equações correspondem às restrições: 1 ONB + 2 OFFB 120 ONB 60 Resolvendo o sistema linear descobrimos que: ONB = 60 OFFB = 30 O lucro correspondente a essas quantidades fabricadas é igual a: Lucro = R $19.800,00 O trabalho necessário para resolver problemas de programação linear pode muitas vezes se mostrar tedioso se realizado à mão. Por esse motivo, a programação linear só conseguiu mostrar sua aplicabilidade aos problemas reais quando o computador se tornou uma realidade. Vamos mostrar como resolver problemas simples com a ajuda do suplemento Solver, fornecido com o Microsoft Excel.
Resolvendo o problema proposto usando o Excel
Para resolver problemas de programação linear usando as planilhas do Excel, devemos habilitar a ferramenta Solver distribuída como suplemento do programa. Normalmente, o suplemento Solver não está habilitado quando o Excel é instalado no computador. Para habilitar o seu funcionamento, você deve seguir os seguintes passos: No menu Ferramentas, clique sobre a opção Suplementos:
Aparecerá em seguida a caixa de diálogo Suplementos, onde você poderá habilitar o funcionamento do pacote Solver marcando a caixa de seleção com um clique do mouse.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 6 Após esse procedimento, o pacote Solver estará disponível no menu Ferramentas:
Voltando ao problema da fábrica de computadores, precisamos resolver o seguinte modelo: Maximizar Lucro = 180 ONB + 300 OFFB Sujeito a: 1 ONB + 2 OFFB 120 ONB 60 OFFB 50
Enfatizando que ONB e OFFB são quantidades não-negativas. Vamos preencher a planilha do Excel conforme a figura a seguir:
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 7 As células devem ser preenchidas como indicam as tabelas abaixo FUNÇÃO OBJETIVO Célula Conteúdo
B4 =180*B8+300*B9
VARIÁVEIS DE DECISÃO Célula Conteúdo
B8 B9 0 0
RESTRIÇÕES DE ESTOQUE Célula Conteúdo
B13 C13 B14 C14 B15 C15 B16 C16 B17 C17 =1*B8+2*B9 120 =B8 60 =B9 50 =B8 0 =B9 0
As células B16, C16, B17 e C17 são opcionais já que o Solver possui uma opção que, quando selecionada, habilita a simulação com condições não-negativas. Após o preenchimento das células, vamos acessar a opção Solver no menu Ferramentas. Logo em seguida, aparecerá a caixa de diálogo Parâmetros do Solver como mostra a figura:
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 8 A caixa de texto Definir célula de destino é utilizada para informar qual célula é a função objetivo. Para evitar a digitação da referência (posição da linha e coluna) da célula, o Excel disponibiliza o botão Recolher caixa de diálogo:
Esse botão permite marcar a célula desejada diretamente na planilha. A referência da célula é então capturada automaticamente para a caixa de diálogo recolhida. Após clicar sobre esse botão, a caixa de diálogo Parâmetros do Solver ficará recolhida. Devemos então clicar sobre a célula B4 dentro da planilha. Como resultado, a caixa de diálogo deve ficar igual à seguinte figura: Clicar nesse botão
Para retornar à caixa de diálogo inicial, basta clicar no botão indicado na figura anterior. Na opção Igual a devemos escolher que tipo de otimização fazer: Max para maximizar a função objetivo, Min para minimizar a função objetivo ou Valor de para definirmos um valor exato para a função objetivo. Segundo o problema que estamos estudando, vamos marcar a opção Max. Em seguida, vamos preencher a caixa de texto Células variáveis com as células que contém os valores das variáveis de decisão ONB e OFFB. Podemos ir direto à planilha marcar quais são as células desejadas através do botão Recolher caixa de diálogo. Inicialmente vamos clicar sobre a célula B8 e, sem soltar o botão esquerdo do mouse, arrastar até a célula B9. A caixa de diálogo recolhida deve ter o mesmo aspecto da figura:
Voltando à caixa de diálogo original, o botão Adicionar permite acrescentar restrições à caixa de texto Submeter às restrições. Clicando nesse botão, aparecerá a seguinte caixa de diálogo:
As restrições de estoque na planilha possuem duas colunas. A primeira coluna faz referência às variáveis que estão presentes no lado esquerdo das inequações e a segunda coluna faz referência aos valores que estão presentes no lado direito das inequações. Devemos preencher a caixa de texto Referência de célula com a posição da primeira coluna de cada restrição e a caixa de texto Restrição com a posição da segunda coluna de cada restrição da planilha, não esquecendo de selecionar corretamente o sinal que relaciona os dois lados da inequação. Por exemplo, selecione a célula B13 diretamente sobre a planilha usando o botão Recolher caixa de diálogo na caixa de texto Referência da célula. Em seguida, escolha o sinal =. Na caixa de texto Restrição, selecione a célula C13 diretamente sobre a planilha utilizando novamente o botão Recolher caixa de diálogo. Clique no botão OK ao final da inserção.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 9 Após a última restrição adicionada, a caixa de diálogo Parâmetros do Solver deve ficar tal como figura:
Para que a simulação seja mais rápida, vamos clicar sobre o botão Opções para configurar o Solver. No momento, as duas opções mais importantes a serem marcadas são as caixas de seleção Presumir modelo linear e Presumir não-negativos. A caixa de diálogo Opções do Solver deve ficar com o seguinte aspecto:
Configuradas as opções, podemos clicar no botão OK para voltar à caixa de diálogo Parâmetros do Solver. Devemos então clicar no botão Resolver para que o Solver se encarregue de solucionar o problema. Logo a seguir, aparecerá a caixa de diálogo Resultados do Solver:
Nessa caixa de diálogo podemos marcar Manter a solução do Solver se quisermos que os resultados finais do problema sejam atualizados nas suas respectivas células ou podemos marcar Restaurar valores originais para que o Solver não atualize os valores das células ao final da simulação. Podemos ainda gerar relatórios que nos fornecem informações sobre o problema. Por enquanto, vamos apenas clicar sobre a opção Resposta na caixa de texto Relatórios.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 10 Após clicarmos no botão OK, o Solver cria uma nova planilha com o relatório de resposta conforme pode ser visto na figura a seguir:
Resultados
A simulação com o Solver produziu os resultados que estão dentro da região tracejada na figura anterior. Logicamente, os resultados devem ser iguais aos obtidos na solução manual mostrada no início do capítulo.
Melhorando a apresentação da planilha
A apresentação do modelo implementado no Excel é um ponto que deve ser pensado com bastante atenção, pois uma planilha com os dados organizados corretamente facilita o entendimento do modelo que se deseja resolver. Podemos melhorar o modelo anterior organizando a planilha conforme a figura a seguir:
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 11 Note que a planilha apresenta o modelo de uma forma mais clara do que o modelo implementado anteriormente. Ao planejar a implementação do modelo no Excel é importante ter em mente que outros usuários deverão ser capazes de entender o problema rapidamente e modificar facilmente os parâmetros do modelo como os lucros por unidade fabricada, por exemplo. As células devem ser preenchidas como indicam as tabelas a seguir FUNÇÃO OBJETIVO Célula Conteúdo
B7 =B4*B3+C4*C3
VARIÁVEIS DE DECISÃO Célula Conteúdo
B3 C3 0 0
RESTRIÇÕES DE ESTOQUE Célula Conteúdo
B11 C11 D11 B12 C12 D12 B13 C13 D13 =B5*B3+C5*C3 120 =C11-B11 =B3 60 =C12-B12 =C3 50 =C13-B13
Conforme o quadro anterior, podemos perceber que as condições de não-negatividade não foram informadas diretamente na planilha. O Solver possui uma maneira rápida de declarar essas condições. Na caixa de diálogo Opções do Solver, basta marcar a caixa de seleção Presumir nãonegativos.
Marcar a caixa de seleção
A simulação do problema é feita exatamente igual ao que já foi mostrado anteriormente. A novidade nesse caso é a simplicidade da implementação do modelo. A coluna folga foi adicionada ao modelo para informar se a condição limite de estoque foi totalmente usada ou se existem folgas (sobras) de estoque.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 12 Como as três restrições possuem o mesmo sinal de desigualdade ( ), podemos adicioná-las de uma vez na caixa de diálogo Adicionar Restrição selecionando as células conforme a figura:
Na caixa de diálogo Adicionar Restrição, devemos selecionar as células B11 até B13, escolher o sinal de desigualdade e selecionar as células C11 até C13. Essa operação nos poupa o trabalho de adicionar uma restrição de cada vez como havíamos feito na implementação anterior.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 13 A caixa de diálogo Parâmetros do Solver deve ficar com o seguinte aspecto:
Neste ponto, o modelo já está completamente implementado e o Solver está pronto para resolver o problema. O resultado da simulação fornecido pelo Solver pode ser conferido na figura a seguir:
O lucro máximo é de $19.800,00 e pode ser alcançado pela fabricação de 60 computadores on-board e 30 computadores off-board.
Um pouco de história.
GEORGE STIGLER (1911-1991)
George Stigler foi um economista norte-americano que durante a segunda guerra mundial escreveu o artigo intitulado o custo da sobrevivência ( the cost of subsistence ) onde avaliava a dieta mais barata baseada em um certo número de alimentos e suas quantidades nutricionais. O conhecido problema da dieta abriu portas para um uso mais popular da programação linear na economia.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 14
Tarefas Propostas
T.P.2.1 Modelar e simular no Excel os problemas a seguir. 1 Uma fábrica produz dois tipos de produto: Standard e Luxo. Cada modelo Standard requer 4h de corte e 5h de polimento. Cada modelo Luxo requer 2h de corte e 5h de polimento. A fábrica possui 2 máquinas de corte e 3 máquinas de polir. Sabe-se que a fábrica trabalha 40h por semana e que o lucro de cada modelo Standard é de R$3,00 e o lucro de cada modelo Luxo é de R$4,00. Considerando que não há restrição de demanda, modele o problema de forma a maximizar o lucro da fábrica. 2 Uma fábrica de móveis produz dois modelos de molduras ornamentais cujos preços de venda são, respectivamente, R$110,00 e R$65,00. O estoque da fábrica possui 7 peças de madeira e a fábrica dispõe de 30h de trabalho para confeccionar os dois modelos. O modelo A requer 2 peças de madeira e 5h de trabalho por unidade enquanto o modelo B necessita de 1 peça de madeira e 7 h de trabalho por unidade produzida. Quantas unidades de cada um dos modelos a fábrica deve montar se deseja maximizar o rendimento com as vendas? 3 Um fundo de investimento tem até R$300.000,00 para aplicar nas ações de duas empresas. A empresa D tem 40% do seu capital aplicado em produção de cerveja e o restante aplicado em refrigerantes. Espera-se que a empresa D distribua bonificações de 12%. A empresa N tem todo o seu capital aplicado apenas na produção de cerveja. Espera-se que a empresa N distribua bonificações de 20%. Para o investimento considerado, a legislação impõe as seguintes restrições: a) O investimento na empresa D pode atingir R$270.000,00, dada a sua diversificação de capital aplicado. b) O investimento na empresa N pode atingir R$150.000,00, dada a sua condição de empresa com capital concentrado em apenas um produto. c) O investimento em cada produto pode atingir R$180.000,00. Para as condições do problema, qual deve ser o investimento que maximiza o lucro? 4 Uma empresa madeireira produz compensado e madeira serrada. Seus recursos são 40m3 de pinho e 80m3 de canela. O lucro com a madeira serrada é de R$5,00 por cada m3 e o lucro com o compensado é de R$0,70 por cada m2. Para produzir a 1m3 madeira serrada que possa ser comercializada são necessários 1m3 de pinho e 3m3 de canela. Para produzir 100m2 de compensado são necessários 3m3 de pinho e 5m3 de canela. Compromissos de venda exigem que sejam produzidos, pelo menos, 5m3 de madeira serrada e 900m2 de madeira compensada. Qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro? 5 O gerente de marketing de uma empresa de refrigerantes precisa decidir quantas inserções na televisão e quantos anúncios em revistas devem ser realizados na próxima campanha de vendas do seu produto. Cada inserção na televisão custa $5.000,00 e espera-se incrementar as vendas em 300.000 latas de refrigerante. Cada anúncio de revista custa $2.000,00 e espera-se incrementar as vendas em 500.000 latas de refrigerante. Estão disponíveis $100.000,00 para serem gastos com propaganda. Por outro lado, a empresa de refrigerantes não deseja gastar mais do que $70.000,00 com inserções na televisão e $50.000,00 com anúncios em revista. A empresa tem lucro de $0,05 por cada lata de refrigerante vendida. a) Formule o problema de programação linear. b) Desenhe a região factível para o problema. c) Encontre a solução ótima pelo método gráfico e simulação com o Excel.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 15 6 Uma empresa produz dois tipos de jogos para adultos e sua capacidade de produção é de 50h por semana. O jogo A requer 3h para ser fabricado e fornece lucro de R$30,00 por unidade, enquanto o jogo B precisa de 5h para ser produzido e fornece lucro de R$40,00 por unidade. Quantas unidades de cada jogo devem ser fabricadas a fim de que o lucro seja máximo? 7 A empresa Eletrotécnica fabrica dois tipos de aparelhos elétricos: geradores e alternadores. Ambos os produtos necessitam de bobinamento (enrolamento de fio de cobre para formar as bobinas) e testes durante o processo de montagem. Cada gerador requer 2 horas de bobinamento e 1 hora de testes e pode ser vendido com um lucro de $250,00. Cada alternador requer 3 horas de bobinamento e 2 horas de testes e pode ser vendido com um lucro de $150,00. Estão previstas 260 horas para serem gastas com bobinamento e 140 horas disponíveis para a fase de testes no próximo ciclo de produção. Encontre o esquema de produção que maximize o lucro. 8 Considere a questão 7. Suponha que a gerência decida que a empresa deve fabricar no mínimo 20 geradores e 20 alternadores. Reformule o modelo da questão 7 para levar em conta essa mudança. Encontre a solução ótima do problema. 9 Considere a questão 8. Suponha que a empresa Eletrotécnica pode adquirir tempo de bobinamento adicional a um custo bastante favorável. A empresa deve pagar por esse tempo adicional? Explique a sua decisão. 10 Bill s Grill é um restaurante popular da cidade que é famoso pelos seus hambúrgueres. O proprietário do restaurante, Bill, mistura carne de boi e de porco com um ingrediente secreto para fazer deliciosos hambúrgueres com teor de gordura abaixo de 25%. Bill pode comprar carne de boi contendo 80% de carne e 20% de gordura a um preço de $0,85 por quilo. Bill também pode comprar carne de porco contendo 70% de carne e 30% de gordura a $0,65 por quilo. Qual é a mistura mais barata das carnes de boi e de porco de maneira que Bill consiga fazer hambúrgueres com teor de gordura abaixo de 25%? 11 Uma transportadora utiliza burros e jumentos para transportar cargas entre duas cidades. A capacidade de carga de um burro é de até 100kg, enquanto que, a do jumento é de até 50kg. Durante a viagem, um burro consome 3 montes de capim e 100 litros de água. Um jumento consome 2 montes de capim e 30 litros de água. A empresa possui várias estações de alimentação na estrada entre essas duas cidades. No momento, essas estações possuem 900 litros de água e 35 montes de capim. Os burros e os jumentos são alugados pela firma a um preço de $30,00 por burro e $20,00 por jumento. Existe a necessidade de transportar 1.000kg de carga entre as cidades. Quantos burros e jumentos devem ser utilizados de modo a minimizar o custo do aluguel pago? 12 Um fabricante de móveis produz dois tipos de mesas usando três tipos de máquinas. Os tempos necessários para produzir as mesas em cada máquina são dados na tabela a seguir: Máquinas 1 2 3 Mesa tipo A 1,5 3,0 2,5 Mesa tipo B 2,0 4,5 1,5 Tempo disponível por semana 1.000 2.000 1.500
A mesa tipo A pode ser vendida por $350,00 e a mesa tipo B por $450. A gerência da empresa determinou que, no mínimo, 20% das mesas fabricadas devem ser do tipo A e 30% das mesas fabricadas devem ser do tipo B. Quantas mesas de cada tipo devem ser fabricadas para que o faturamento seja máximo? Como seria o modelo se a empresa fabricasse 10 tipos de mesa?
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 16 13 A companhia de minérios Mineral S/A é dona de duas minas que produzem carvão com três concentrações diferentes: alta, média e baixa. Durante cada hora de operação, a mina 1 produz 6 toneladas de carvão de alta concentração, 2 toneladas de carvão de média concentração e 4 toneladas de carvão de baixa concentração. A mina 2 produz 2 toneladas de carvão de alta concentração, 2 toneladas de carvão de média concentração e 8 toneladas de carvão de baixa concentração por hora de funcionamento. O custo de operação da mina 1 é de $200,00 por hora e são necessários $160,00 por hora para operar a mina 2. Para cumprir com uma obrigação contratual com uma termelétrica, a Mineral S/A deve suprir no mínimo 12 toneladas de carvão de alta concentração, 8 toneladas de carvão de média concentração e 24 toneladas de carvão de baixa concentração. Quantas horas por dia cada mina deve ser operada para que a Mineral S/A forneça carvão a custo mínimo para a termelétrica? 14 Um fazendeiro tem uma fazenda de 100 hectares onde planta melões e melancias. Cada hectare plantado com melões requer 50 litros de água por dia e deve ser preparado com 20 Kg de fertilizante. Cada hectare plantado com melancias requer 75 litros de água por dia e requer 15 Kg de fertilizante. O fazendeiro estima que são necessárias 2h de trabalho para colher cada hectare plantado com melões e 2,5h de trabalho para colher cada hectare plantado com melancias. O preço de venda de cada melão é de $3,00 e de cada melancia é de $1,00. Cada hectare de plantação de melões produz, em média, 90 unidades vendáveis enquanto que cada hectare de plantação de melancias produz 300 unidades vendáveis. O fazendeiro pode bombear 6.000 litros de água por dia de um rio próximo. O comércio local pode fornecer tanto fertilizante quanto for necessário a um custo de $10,00 por um saco de 50 Kg. Finalmente, o fazendeiro pode contratar trabalhadores para a colheita ao custo de $5,00 por hora. Se o fazendeiro puder vender toda a sua produção, quantos hectares devem ser usados para a plantação de melões e melancias de maneira a maximizar o lucro? 15 Sabe-se que uma pessoa necessita diariamente de um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de carboidratos. Suponhamos que, para satisfazer essa necessidade, a pessoa disponha dos produtos A e B. Cada quilograma do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades de carboidratos e custa $2,00. Por outro lado, cada quilograma do produto B contém 6 unidades de proteínas, 5 unidades de carboidratos e custa $3,00. Que quantidade de cada produto deve ser comprada para que as exigências da alimentação sejam satisfeitas a custo mínimo? 16 Uma empresa siderúrgica produz uma liga de aço a partir da mistura de aço puro e adições metálicas. Essa empresa recebeu um pedido de 400kg dessa liga de aço. Sabe-se que cada quilograma de aço puro custa R$5,00 e o das adições metálicas custa R$3,00. Além disso, a avaliação do estoque mostrou que existem 400kg de aço puro e 800kg de adições metálicas. Na carga do forno para a produção da liga desejada, a relação de adições para o aço puro deve estar entre 25% e 35%. Qual é o esquema de produção a custo mínimo? 17 Uma empresa adquire petróleo para produzir gasolina comum, gasolina especial e óleo diesel. Ela necessita manter em seus tanques, no início de cada semana, um estoque mínimo dos produtos. A tabela abaixo mostra, para uma determinada semana, as composições, disponibilidades e estoques mínimos. Qual é o esquema de produção a custo mínimo? Petróleo A 10% 20% 70% 200 barris R$10,00 / barril Petróleo B 60% 30% 10% 300 barris R$15,00 / barril Estoque mínimo 200 barris 50 barris 100 barris
Gasolina Comum Gasolina Especial Óleo Diesel Disponibilidades Custo
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 17
Modelos adicionais de programação linear
Os modelos com duas variáveis e o método gráfico são interessantes do ponto de vista didático, pois educam na arte de construir modelos e na análise dos resultados. Por outro lado, as aplicações práticas são bem mais complexas e dependem de um número expressivo de variáveis. Vamos estudar os seguintes modelos: Decisão de fabricação própria e compra de produto similar do concorrente para atender a um pedido de compra ou a uma licitação. Problemas de transporte de mercadorias entre armazéns e fábricas (logística). Problemas de mistura. Todos os modelos citados serão resolvidos com a ajuda do Microsoft Excel.
Decisão de fabricação própria e compra da concorrência
É comum a abertura de licitação para fornecimento de um determinado produto ou serviço para uma empresa ou para o governo. Suponha que o contrato excede a capacidade de produção da empresa vencedora da licitação. Na abertura dos envelopes com as propostas, a gerência teve conhecimento dos preços da concorrência. Considerando a incapacidade de fornecimento de produto da fábrica, deve a gerência abandonar a licitação ou compartilhar com a concorrência? Se decidir compartilhar o fornecimento, quanto deve comprar da concorrência de modo que o custo seja o menor possível? Problema: Uma montadora de automóveis necessita de 3 peças diferentes para compor o seus automóveis: o alternador, a bomba de água e a bomba de combustível. A empresa que venceu a concorrência para fabricar esses três componentes deve fornecer 3000 alternadores, 2000 bombas de combustível e 900 bombas de água por um contrato de $750.000,00. No quadro abaixo estão relacionadas as operações necessárias para fabricar uma unidade de cada componente: Horas gastas por unidade Fabricação Testes e acabamento Alternador 2 1 Bomba de Combustível 1,5 2 Bomba de Água 3 1
Infelizmente, a empresa vencedora não possui capacidade de fabricar todos os componentes do pedido da montadora de automóveis. A empresa tem capacidade de 10.000 horas de fabricação e 5.000 horas para testes e acabamento. Os custos de fabricação própria e da concorrência são descritos no quadro abaixo: Custos por unidade Fabricação própria Concorrência Alternador $50 $61 Bomba de Combustível $83 $97 Bomba de Água $130 $145
A empresa vencedora da licitação deseja descobrir o número de cada componente que deve ser fabricado e comprado da concorrência para que o pedido da montadora de automóveis possa ser cumprido a mínimo custo? Vamos dividir o nosso problema em três passos: Definir as variáveis de decisão. Definir a função objetivo. Definir as limitações (restrições) do problema. Ao final dos três passos, vamos resolver o problema com a ajuda do Excel.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 18
Definindo as variáveis de decisão
As variáveis que influenciam no custo total são as quantidades de cada componente fabricado e comprado da concorrência. Portanto, as variáveis de decisão são: F1 Quantidade fabricada de alternadores. F2 Quantidade fabricada de bombas de combustível. F3 Quantidade fabricada de bombas de água. C1 Quantidade comprada de alternadores. C2 Quantidade comprada de bombas de combustível. C3 Quantidade comprada de bombas de água.
Definindo a função objetivo
A função objetivo é dada pela minimização da soma dos custos totais de componentes comprados e fabricados: Minimizar Custo = 50 F1 + 83 F2 + 130 F3 + 61 C1 + 97 C2 + 145 C3
Definindo as restrições
A primeira restrição diz respeito ao número de horas disponíveis para a fabricação dos três componentes: 2 F1 + 1,5 F2 + 3 F3 10.000 A segunda restrição está relacionada com o número de horas disponíveis para a fase de testes e acabamento dos três componentes: 1 F1 + 2 F2 + 1 F3 5.000 As restrições a seguir dizem respeito ao contrato que deve ser cumprido. A soma dos números de componentes fabricados e comprados pela empresa vencedora da licitação deve ser igual ao número de componentes do pedido da montadora de automóveis: F1 + C1 = 3.000 F2 + C2 = 2.000 F3 + C3 = 900 Finalmente lembramos que o número de peças fabricadas e compradas são todas nãonegativas: F1 0 , F2 0 , F3 0 , C1 0 , C2 0 e C3 0
Modelo do problema
O modelo do problema pode ser resumido por: Minimizar Custo = 50 F1 + 83 F2 + 130 F3 + 61 C1 + 97 C2 + 145 C3
Sujeito a 2 F1 + 1,5 F2 + 3 F3 10.000 1 F1 + 2 F2 + 1 F3 5.000 F1 + C1 = 3.000 F2 + C2 = 2.000 F3 + C3 = 900 F1 0 , F2 0 , F3 0 C1 0 , C2 0 , C3 0
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Resolvendo o problema no Excel
Resolver o problema no Excel implica dispor o modelo de forma organizada na planilha como pode ser conferido na figura a seguir:
As células do modelo devem ser preenchidas conforme os quadros seguintes: FUNÇÃO OBJETIVO Conteúdo
=SOMARPRODUTO(B5:D6;B7:D8)
Célula
B10
VARIÁVEIS DE DECISÃO Células Conteúdos
B7, B8, C7, C8, D7, D8 0
RESTRIÇÕES Célula
B13 C13 D13 B14 C14 D14 B17 C17 B18 C18 B19 C19
Conteúdo
=B3*B7+C3*C7+D3*D7 10000 =C13-B13 =B4*B7+C4*C7+D4*D7 5000 =C14-B14 =B7+B8 3000 =C7+C8 2000 =D7+D8 900
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 20 A função SOMARPRODUTO(B5:D6;B7:D8) soma os produtos das células indicadas pelas setas conforme a figura:
A função SOMARPRODUTO(B5:D6;B7:D8) pode ser traduzida pela seguinte fórmula:
B5*B7 + B6*B8 + C5*C7 + C6*C8 + D5*D7 + D6*D8
A ajuda do Excel fornece o seguinte texto sobre a função SOMARPRODUTO:
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 21 Podemos agora passar os parâmetros para o Solver. A aparência da caixa de diálogo Parâmetros do Solver deve ficar igual à figura a seguir:
O Solver mostrará os resultados nas respectivas células conforme a próxima figura:
O contrato pode ser cumprido com custo de $453.300,00. Devem ser fabricados na própria empresa 3.000 alternadores, 550 bombas de combustível e 900 bombas de água. Devem ser compradas 1.450 bombas de combustível da concorrência. Se o contrato com a montadora é de $750.000,00 então o lucro da empresa vencedora é de $296.700,00.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 22
Problema de transporte de mercadorias (logística)
Grandes empresas de agronegócio que produzem suco de laranja, margarina e ração para animais possuem, geralmente, vários locais de armazenamento das suas matérias-primas distantes dos locais em que os produtos serão processados ou consumidos. Portanto, torna-se necessário descobrir qual deve ser a quantidade de matéria-prima transportada de cada armazém para os locais de produção de maneira que o custos com transportes seja mínimo e as necessidades dos locais de processamento da matéria-prima sejam plenamente satisfeitas. Problema: Citrus é uma empresa que produz suco concentrado de laranja e possui três locais de onde compra as laranjas para fazer o seu suco: Barretos, Araraquara e Botucatu no Estado de São Paulo. A empresa possui 275.000 quilogramas de laranja disponíveis em Barretos, 400.000 quilogramas de laranja em Araraquara e 300.000 quilogramas de laranja em Botucatu. As fábricas da empresa possuem capacidades de processar 200.000 quilogramas de laranja (fábrica 1), 600.000 quilogramas de laranja (fábrica 2) e 225.000 quilogramas de laranja (fábrica 3). A empresa tem um contrato de frete com uma transportadora para distribuir as laranjas dos seus locais de origem para as fábricas pagando por cada quilo transportado em 1 quilômetro. A tabela seguinte resume as distâncias entre as regiões de produção e as fábricas:
Distâncias entre as regiões de produção de laranja e as fábricas (em km)
Barretos Araraquara Botucatu Fábrica 1 21 35 55 Fábrica 2 50 30 20 Fábrica 3 40 22 25
Cada quilômetro que 1 quilo de laranja viaja é denominado como quilograma-quilômetro. A empresa deseja saber quantos quilogramas deve transportar de cada região produtora de laranja para as fábricas de maneira que minimize o número total de quilogramas-quilômetros que deve ser transportado. Vamos novamente dividir o nosso problema em três passos: Definir as variáveis de decisão. Definir a função objetivo. Definir as limitações (restrições) do problema. Finalmente, vamos resolver o problema com a ajuda do Excel.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 23
Definindo as variáveis de decisão
Fica mais fácil entender o problema se construirmos uma rede de possibilidades de distribuição de mercadorias. O esquema de logística pode ser visualizado na figura seguinte:
Barretos Nó 1
Fábrica 1 Nó 4
Araraquara Nó 2
Fábrica 2 Nó 5
Botucatu Nó 3
Fábrica 3 Nó 6
Cada ponto de saída ou chegada de mercadoria é chamado de nó e será identificado por um número. Por exemplo, quando o carregamento de laranjas sai de Barretos e chega na fábrica 3 a mercadoria sai do nó 1 para o nó 6. Vamos identificar as variáveis de decisão por: Kij Quantidade de quilogramas de laranja transportada do nó i para o nó j. No total, temos 9 variáveis de decisão a saber: K14 Quantidade de quilogramas de laranja transportada do nó 1 para o nó 4. K15 Quantidade de quilogramas de laranja transportada do nó 1 para o nó 5. K16 Quantidade de quilogramas de laranja transportada do nó 1 para o nó 6. K24 Quantidade de quilogramas de laranja transportada do nó 2 para o nó 4. K25 Quantidade de quilogramas de laranja transportada do nó 2 para o nó 5. K26 Quantidade de quilogramas de laranja transportada do nó 2 para o nó 6. K34 Quantidade de quilogramas de laranja transportada do nó 3 para o nó 4. K35 Quantidade de quilogramas de laranja transportada do nó 3 para o nó 5. K36 Quantidade de quilogramas de laranja transportada do nó 3 para o nó 6.
Definindo a função objetivo
O problema consiste em minimizar os custos com o frete. Como o frete é pago por cada quilograma de laranja transportada em 1 quilômetro então desejamos minimizar o número de quilogramas-quilômetro de laranja transportada. É importante dizer que a unidade denominada quilograma-quilômetro envolve grandezas inversamente proporcionais em relação ao frete, ou seja, quando minimizamos a distância, maximizamos a quantidade de laranja transportada.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 24 A função objetivo é dada por: Minimizar
21 K 14 + 50 K 15 + 40 K 16 + 35 K 24 + 30 K 25 + 22 K 26 + 55 K 34 + 20 K 35 + 25 K 36
Definindo as restrições
Cada localidade produz uma quantidade fixa de quilogramas de laranja, portanto, a quantidade de laranjas que parte de cada localidade (Barretos, Araraquara e Botucatu) é constante: K14 + K15 + K16 = 275.000 (Quantidade de laranjas disponível em Barretos) K 24 + K 25 + K 26 = 400.000 (Quantidade de laranjas disponível em Araraquara) K 34 + K 35 + K 36 = 300.000 (Quantidade de laranjas disponível em Botucatu) Cada fábrica pode receber, no máximo, uma quantidade de laranjas para ser processada: K14 + K 24 + K 34 200.000 (Capacidade de processamento da fábrica 1) K15 + K 25 + K 35 600.000 (Capacidade de processamento da fábrica 2) K16 + K 26 + K 36 225.000 (Capacidade de processamento da fábrica 3) Finalmente, as condições de não-negatividade são dadas por:
K14 0 , K 24 0 , K 34 0 K15 0 , K 25 0 , K 35 0 K16 0 , K 26 0 , K 36 0
Modelo do problema
O modelo do problema pode ser resumido por: Minimizar
21 K14 + 50 K15 + 40 K16 + 35 K 24 + 30 K 25 + 22 K 26 + 55 K 34 + 20 K 35 + 25 K 36
Sujeito a K14 + K15 + K16 = 275.000 K 24 + K 25 + K 26 = 400.000 K 34 + K 35 + K 36 = 300.000 K14 + K 24 + K 34 200.000 K15 + K 25 + K 35 600.000 K16 + K 26 + K 36 225.000
K14 0 , K 24 0 , K 34 0 K15 0 , K 25 0 , K 35 0 K16 0 , K 26 0 , K 36 0
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 25
Resolvendo o problema no Excel
O modelo implementado no Excel deve ter o mesmo aspecto da figura:
O conteúdo das células pode ser verificado nos quadros a seguir: FUNÇÃO OBJETIVO Conteúdo
=SOMARPRODUTO(C5:E7;C13:E15)
Célula
C18
VARIÁVEIS DE DECISÃO Células
C13, C14, C15, D13, D14, D15, E13, E14, E15
Conteúdos
0
RESTRIÇÕES Célula
C25 C26 C27 D25 D26 D27 H25 H26 H27 I25 I26 I27
Conteúdo
=SOMA(C13:E13) =SOMA(C14:E14) =SOMA(C15:E15) 275000 400000 300000 =SOMA(C13:C15) =SOMA(D13:D15) =SOMA(E13:E15) 200000 600000 225000
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 26 O próximo passo consiste em implementar o modelo na caixa de diálogo Parâmetros do Solver. A figura a seguir ilustra o aspecto dessa caixa de diálogo totalmente preenchida:
Pressionando o botão Resolver, o Solver produz resultado conforme a figura a seguir:
Toda a produção de laranja de Barretos deve ser enviada para a fábrica 1 (200.000 Kg) e para a fábrica 3 (75.000 Kg). Toda a produção de Araraquara deve ser transportada para a fábrica 2 (250.000 Kg) e para a fábrica 3 (150.000 Kg). Toda a produção de Botucatu deve ser mandada para a fábrica 2 (300.000 Kg). O total de quilogramas-quilômetros percorridos é de 24.000.000 Kg-Km.
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Problema de mistura
Uma das aplicações mais difundidas da programação linear são os problemas de mistura. Por exemplo, as empresas de alimentação humana ou que produzem ração animal estão interessadas em saber qual é a mistura ótima de vários ingredientes de maneira a minimizar o seu custo de aquisição. Seguindo o mesmo raciocínio, as companhias petrolíferas podem determinar a quantidade ótima de vários óleos e aditivos para produzir um tipo de óleo aditivado a mínimo custo. Problema: Alimenta S/A é uma empresa que fornece ração para aves personalizada pelos avicultores. A empresa dispõe de 4 tipos de ração com diferentes percentuais de milho, soja e minerais. A tabela a seguir especifica as quantidades de cada ingrediente nos 4 tipos de ração: Ingredientes Milho Soja Minerais Custo por Kg Percentuais dos ingredientes Ração 2 Ração 3 5% 20% 30% 15% 20% 20% $3,00 $3,20
Ração 1 30% 10% 20% $2,50
Ração 4 10% 10% 30% $1,50
A empresa recebeu um pedido de 8.000 Kg de ração de maneira que contenha no mínimo 20% de milho, 15% de soja e 15% de minerais. Como a empresa Alimenta S/A deve misturar as rações para cumprir o pedido a mínimo custo?
Definindo as variáveis de decisão
A variáveis que influenciam no custo do pedido são as quantidades de cada tipo de ração na mistura final. Portanto, são 4 as variáveis de decisão: R1 Peso da ração 1, em Kg, presente na mistura. R2 Peso da ração 2, em Kg, presente na mistura. R3 Peso da ração 3, em Kg, presente na mistura. R4 Peso da ração 4, em Kg, presente na mistura.
Definindo a função objetivo
O objetivo do problema é minimizar o custo do pedido dado pela expressão: Custo = 2,50 R1 + 3,00 R 2 + 3,20 R3 + 1,50 R 4
Definindo as restrições
A soma dos quatro tipos de ração deve ser igual a 8.000 Kg: R1 + R 2 + R 3 + R 4 = 8.000 O pedido deve conter, no mínimo, 20% de milho, 15% de soja e 15% de minerais. Portanto, as quantidades mínimas de milhos, soja e minerais no pedido deve ser iguais a: Milho = 20% de 8.000 Kg = 1.600 Kg Soja = 15% de 8.000 Kg = 1.200 Kg Minerais = 15% de 8.000 Kg = 1.200 Kg Assim as restrições de quantidades de cada ingrediente são: 0,30 R1 + 0,05 R 2 + 0,20 R 3 + 0,10 R 3 1.600 (milho) 0,10 R1 + 0,30 R 2 + 0,15 R 3 + 0,10 R 3 1.200 (soja) 0,20 R1 + 0,20 R 2 + 0,20 R 3 + 0,30 R 3 1.200 (minerais)
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 28
Modelo do problema
Minimizar Custo = 2,50 R1 + 3,00 R 2 + 3,20 R3 + 1,50 R 4 Sujeito a R1 + R 2 + R 3 + R 4 = 8.000 0,30 R1 + 0,05 R 2 + 0,20 R 3 + 0,10 R 3 1.600 0,10 R1 + 0,30 R 2 + 0,15 R 3 + 0,10 R 3 1.200 0,20 R1 + 0,20 R 2 + 0,20 R 3 + 0,30 R 3 1.200
Resolvendo o problema no Excel
O modelo deve ser implementado no Excel conforme a figura a seguir:
O conteúdo das células é mostrado nos quadros seguintes:
Célula
B10
FUNÇÃO OBJETIVO Conteúdo
=SOMARPRODUTO(C6:F6;C7:F7)
VARIÁVEIS DE DECISÃO Células
C7, D7, E7, F7
Conteúdos
0
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 29 As células que contém as restrições devem ser preenchidas conforme o quadro: RESTRIÇÕES Célula
C14 D14 C17 D17 C18 D18 C19 D19
Conteúdo
=SOMA(C7:F7) 8000 =SOMARPRODUTO(C3:F3;C$7:F$7) 1600 =SOMARPRODUTO(C4:F4;C$7:F$7) 1200 =SOMARPRODUTO(C5:F5;C$7:F$7) 1200
Não precisamos digitar o conteúdo das células C18 e C19 se usarmos a facilidade de copiar fórmulas no Excel. Primeiramente, devemos digitar o conteúdo da célula C17, lembrando de digitar o símbolo $ nos locais apropriados. Em seguida, devemos clicar com o botão esquerdo do mouse sobre a alça da célula C17 (ponto indicado na figura a seguir) e arrastar até a célula C19. Clicar com o mouse aqui e arrastar até a célula C19.
O símbolo $ faz com que o Excel mantenha o intervalo C$7:F$7 mesmo quando a fórmula é copiada para outras posições. Note que a única diferença nos conteúdos das células C17, C18 e C19 são os primeiros intervalos das respectivas fórmulas somarproduto. Vamos melhorar ainda mais o aspecto da planilha modificando a formatação das células. Selecionamos inicialmente as células C3 a F5. A seguir, clicamos com o botão direito do mouse e selecionamos a opção Formatar células como mostra a figura:
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 30 Em seguida, o Excel abrirá a caixa de diálogo Formatar células:
Devemos escolher o formato Porcentagem na opção Categoria na guia Número. Ao final, a planilha deverá ter o seguinte aspecto:
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 31 O próximo passo consiste em implementar o modelo na caixa de diálogo Parâmetros do Solver. A figura a seguir ilustra a caixa de diálogo totalmente preenchida:
Pressionando o botão Resolver, o Solver produz resultado conforme a figura a seguir:
Para atender o pedido do cliente, a empresa Alimenta S/A deve misturar 4.500 Kg da ração do tipo 1, 2.000 Kg da ração do tipo 2 e 1.500 Kg da ração do tipo 4. O custo total de 8.000 Kg da mistura é de $19.500,00.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 32
Tarefas Propostas
T.P.2.2 Modelar e simular no Excel os problemas a seguir. 1 A companhia B&D fabrica dois tipos de cortadores de grama. A companhia conseguiu um contrato de fornecimento de 30.000 cortadores de grama do tipo A e 15.000 do tipo B para uma grande rede de varejo. Por outro lado, a companhia não tem capacidade de fabricar todos os cortadores de grama do contrato. Os tempos necessários para a fabricação dos dois tipos de cortadores de grama são mostrados no quadro a seguir: Processos Produção Montagem Embalagem Horas necessárias por cortador de grama Tipo A Tipo B 0,20 0,40 0,30 0,50 0,10 0,10 Total disponível (h) 10.000 15.000 5.000
Os custos de fabricação própria e da concorrência são dados pela tabela: Cortador de grama Tipo A Tipo B Fabricação própria $55,00 $85,00 Concorrência $67,00 $95,00
Quantos cortadores de grama de cada tipo a companhia deve fabricar e comprar da concorrência para que o contrato seja cumprido com custo mínimo? 2 Valucom Eletrônica fabrica 5 diferentes tipos de placas de comunicação para computadores desktops e notebooks. A tabela a seguir detelha os recursos necessários para fabricação de cada uma das placas: Recursos necessários por unidade FastLink SpeedLink MicroLink 15 10 8 24 18 12 8 4 4 0,6 0,5 0,65 $149,00 $129,00 $169,00 $101,00 $96,00 $137,00
Área de placa (cm ) Resistores Chips de memória Horas de montagem Preço de venda Custo de produção
2
HyperLink 20 28 8 0,75 $189,00 $136,00
EtherLink 5 16 6 1 $139,00 $101,00
No próximo período de produção, Valucom tem disponíveis 80.000 cm2 de área de placa, 100.000 resistores, 30.000 chips de memória e 5.000h de tempo de montagem. A empresa consegue vender todos os produtos que fabrica, mas o departamento de marketing quer assegurar a produção mínima de 500 unidades de cada produto. Além disso, a quantidade de placas FastLink deve ser, pelo menos, o dobro da quantidade de placas HyperLink. Quantas placas de cada um dos cinco tipos devem ser fabricadas de maneira a maximizar o lucro.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PÁGINA 33 3 Uma pequena fábrica de papel-toalha manufatura três tipos de produto: A, B e C. A fábrica recebe o papel em grandes rolos. O papel é cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da fábrica, o mercado absorverá toda a produção a um preço constante. Os dados de fabricação dos produtos A, B e C são mostrados na tabela seguinte: Tempo em horas gasto nos processos Produto B Produto C Produto A 8 5 2 5 10 4 0,7 1 2 $1,00 $1,50 $2,00 Quantidade de Máquinas 3 10 2
Corte Dobra Empacotamento Lucro unitário
Qual é o esquema de produção da fábrica que maximiza o lucro, considerando a jornada semanal de 40h? 4 Uma indústria automoblística decidiu terceirizar a produção de 4 componentes para a montagem do seu novo modelo de automóvel. Várias companhias estão interessadas no negócio, mas nenhuma pode assumir mais do que um contrato de fornecimento. Os valores de produção de cada componente para cada um dos quatro fornecedores são mostrados na tabela a seguir: Componente Bancos Pneus Vidros das janelas Lanternas e f

CONHEÇAM O MAIS BELO TRECHO DA ROTA TURÍSTICA BELÉM-BRAGANÇA

Olá pessoal, nesta postagem lhe convido a conhecer o mais belo trecho da rota turística Belém-Bragança/PA (na minha opinião) que vai entre o...